若向量 $\overrightarrow a+3\overrightarrow b$ 垂直于向量 $7\overrightarrow a-5\overrightarrow b$，并且向量 $\overrightarrow a-4\overrightarrow b$ 垂直于向量 $7\overrightarrow a-2\overrightarrow b$，则向量 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年复旦大学自主选拔录取申请资格测试（B卷）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设向量 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 的模分别为 $A$，$B$，夹角为 $\theta$，则$$\begin{cases}\left({\overrightarrow a+3\overrightarrow b}\right)\cdot\left({7\overrightarrow a-5\overrightarrow b}\right)=0,\\ \left({\overrightarrow a-4\overrightarrow b}\right)\cdot\left({7\overrightarrow a-2\overrightarrow b}\right)=0,\end{cases}$$于是$$\begin{cases}7{A^2}-15{B^2}+16AB\cos\theta=0,\\
7{A^2}+8{B^2}-30AB\cos\theta=0,\\
\end{cases}$$即$$\begin{cases}16\cos\theta=15\cdot\dfrac{B}{A}-7\cdot\dfrac{A}{B},\\
30\cos\theta=8\cdot\dfrac{B}{A}+7\cdot\dfrac{A}{B},\\
\end{cases}$$解得$$\begin{cases}\dfrac{A}{B}=1,\\
\cos\theta=\dfrac{1}{2},\\
\end{cases}$$所以向量 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{{\mathrm{\pi}}}{3}$．
7{A^2}+8{B^2}-30AB\cos\theta=0,\\
\end{cases}$$即$$\begin{cases}16\cos\theta=15\cdot\dfrac{B}{A}-7\cdot\dfrac{A}{B},\\
30\cos\theta=8\cdot\dfrac{B}{A}+7\cdot\dfrac{A}{B},\\
\end{cases}$$解得$$\begin{cases}\dfrac{A}{B}=1,\\
\cos\theta=\dfrac{1}{2},\\
\end{cases}$$所以向量 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{{\mathrm{\pi}}}{3}$．
题目
答案
解析
备注
