已知 $\sin\alpha$，$\cos\alpha$ 是关于 $x$ 的方程 ${x^2}-ax+a=0$ 的两个根，这里 $a\in{\mathbb{R}}$，则 ${\sin^3}\alpha+{\cos^3}\alpha=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年复旦大学自主选拔录取申请资格测试（B卷）
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为$$\sin\alpha+\cos\alpha=\sin\alpha\cos\alpha=a,$$所以$${a^2}=1+2a,$$得 $a=1-\sqrt2$ 或 $a=1+\sqrt 2$．因为$$a=\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\sin2\alpha,$$所以 $a\in\left[{-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}}\right]$，因此舍去 $a=1+\sqrt2$．所以\[\begin{split}{\sin^3}\alpha+{\cos^3}\alpha&=\left({\sin\alpha+\cos\alpha}\right)\left({{{\sin}^2}\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+{{\cos}^2}\alpha}\right)\\&=a\left({1-a}\right)\\ &=a-{a^2}\\ &=-1-a \\ &=-2+\sqrt2.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
