设 ${z_1},{z_2}$ 为一对共轭复数，如果 $\left|{{z_1}-{z_2}}\right|=\sqrt6$ 且 $\dfrac{z_1}{z_2^2}$ 为实数，那么 $|{z_1}|=|{z_2}|=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年复旦大学自主选拔录取申请资格测试（B卷）
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为$$\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}^2}}=\dfrac{{{z_1}\cdot\overline{{z_1}}}}{{z_2^3}}$$为实数，所以 $z_2^3$ 为实数．因为$$\begin{cases}\left|{{z_1}-{z_2}}\right|=\sqrt6,\\{z_1}=\overline{{z_2}},\end{cases}$$所以可取$$\begin{cases}{z_1}=\sqrt2\omega,\\{z_2}=\sqrt2{\omega^2},\end{cases}$$其中 $\omega$ $=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{{\sqrt3}}{2}{\mathrm{i}} $，验证可知满足题设条件．因此 $ \left|{{z_1}}\right|=\left|{{z_2}}\right|=\sqrt2$．
题目
答案
解析
备注
