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下列正确的不等式是 \((\qquad)\)
A: $\displaystyle 16<\sum\limits_{k=1}^{120}{\dfrac{1}{{\sqrt k}}}<17$
B: $\displaystyle 18<\sum\limits_{k=1}^{120}{\dfrac{1}{{\sqrt k}}}<19$
C: $\displaystyle 20<\sum\limits_{k=1}^{120}{\dfrac{1}{{\sqrt k}}}<21$
D: $\displaystyle 22<\sum\limits_{k=1}^{120}{\dfrac{1}{{\sqrt k}}}<23$
【难度】
【出处】
2006年复旦大学自主选拔录取申请资格测试（B卷）
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    放缩
    >
    裂项放缩法
  • 题型
    >
    不等式
    >
    级数不等式的证明
【答案】
C
【解析】
因为\[\begin{split}\sqrt{k+1}-\sqrt k&=\dfrac{1}{{\sqrt k+\sqrt{k+1}}}\\ &<\dfrac{1}{{2\sqrt k}}<\dfrac{1}{{\sqrt k+\sqrt{k-1}}}\\ &=\sqrt k-\sqrt{k-1}.\end{split}\]所以$$20=2\left({\sqrt{121}-1}\right)<\sum\limits_{k=1}^{120}{\dfrac{1}{{\sqrt k}}}<2\sqrt{120}<21.$$
题目 答案 解析 备注
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