已知 ${x_1},{x_2}$ 是方程 ${x^2}-\left({a-2}\right)x+\left({{a^2}+3a+5}\right)=0$（$a$ 为实数）的两个实根，则 $x_1^2+x_2^2$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年复旦大学自主选拔录取申请资格测试（B卷）
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为$$\begin{split}\Delta&={\left({a-2}\right)^2}-4\left({{a^2}+3a+5}\right)\\ &=-3{a^2}-16a-16\geqslant 0,\end{split}$$所以$$-4\leqslant a\leqslant -\dfrac{4}{3}.$$由$$\begin{cases}x_1+x_2=a-2,\\x_1\cdot x_2=a^2+3a+5,\end{cases}$$得\[\begin{split}x_1^2+x_2^2&={\left(a-2\right)^2}-2\left({{a^2}+3a+5}\right)\\&=-{a^2}-10a-6\\&=-{\left({a+5}\right)^2}+19,\end{split}\]所以 $x_1^2+x_2^2$ 的最大值为 $18$．
题目
答案
解析
备注
