已知两个一元二次方程：$ax^2+bx+c=0$，$ux^2+vx+w=0$ 都有实根，这里 $a\ne u$．若交换这两个方程的二次项系数，则 $wc>0$ 是系数交换之后所得两个二次方程中至少有一个有实根的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
原来两个二次方程的判别式分别为$$\begin{split}\Delta_1=b^2-4ac,\\\Delta_2=v^2-4uw.\end{split}$$二次项系数交换后两个方程的判别式分别为$$\begin{split}\Delta_1'=b^2-4uc,\\\Delta_2'=v^2-4aw,\end{split}$$所以\[\begin{split}\left(\Delta_1-\Delta_1'\right)\left(\Delta_2-\Delta_2'\right)&=16wc(u-a)(a-u)\\&=-16wc(u-a)^2.\end{split}\]若 $wc>0$，则$$\left(\Delta_1-\Delta_1'\right)\left(\Delta_2-\Delta_2'\right)<0,$$所以，或有 $\Delta_1'>\Delta_1\geqslant 0$，或有 $\Delta_2'>\Delta_2\geqslant 0$，即二次项系数交换后两个方程中至少有一个方程有实根，所以条件“$wc>0$”是充分的．
必要性不成立．
事实上，若 $wc=0$，二次项系数交换后两个方程中至少有一个有 $x=0$ 的实根．
故选A
必要性不成立．
事实上，若 $wc=0$，二次项系数交换后两个方程中至少有一个有 $x=0$ 的实根．
故选A
题目
答案
解析
备注
