在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=75^\circ , AB=3 , AC=4$．若点 $D,E$ 都在边 $BC$ 上，并且 $\angle BAD=\angle CAE=30^\circ$，则 $\dfrac{BD\cdot BE}{CD\cdot CE}=$ \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
分别在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中应用正弦定理，可得$$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB\cdot\sin\angle ADB\cdot\sin BAD}{AC\cdot\sin\angle ADC\cdot\sin CAD}=\dfrac{AB\cdot\sin 30^\circ}{AC\cdot\sin 45^\circ},$$同理，在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ACE$ 中应用正弦定理，可得$$\dfrac{BE}{CE}=\dfrac{AB\cdot\sin45^\circ}{AC\cdot\sin30^\circ},$$综上可知$$\dfrac{BD\cdot BE}{CD\cdot CE}=\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{9}{16}.$$
题目
答案
解析
备注
