设 ${a_n}$ 是 ${\left({2-\sqrt x}\right)^n}$ 的展开式中 $x$ 项的系数（$n=2,3,4,\cdots$），则极限 $\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left({\dfrac{{{2^2}}}{{{a_2}}}+\dfrac{{{2^3}}}{{{a_3}}}+\cdots+\dfrac{{{2^n}}}{{{a_n}}}}\right)$ = \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年复旦大学自主选拔录取申请资格测试（B卷）
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意，有$${a_n}={\rm C}_n^{2}{2^{n-2}}{\left({-1}\right)^2}={\rm C}_n^{2}{2^{n-2}},$$于是$$ \dfrac{{{2^n}}}{{{a_n}}}=\dfrac{4}{{{\rm C}_n^2}}=\dfrac{8}{{n\left({n-1}\right)}}=8\left({\dfrac{1}{{n-1}}-\dfrac{1}{n}}\right),$$所以$$\dfrac{{{2^2}}}{{{a_2}}}+\dfrac{{{2^3}}}{{{a_3}}}+\cdot\cdot\cdot+\dfrac{{{2^n}}}{{{a_n}}}=8\left({1-\dfrac{1}{n}}\right),$$故$$\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left({\dfrac{{{2^2}}}{{{a_2}}}+\dfrac{{{2^3}}}{{{a_3}}}+\cdot\cdot\cdot+\dfrac{{{2^n}}}{{{a_n}}}}\right)=8.$$
题目
答案
解析
备注
