设 ${x_1},{x_2}\in\left({0,\dfrac{{\mathrm{\pi}}}{2}}\right)$，且 ${x_1}\ne{x_2}$，不等式
① $ \dfrac{{\tan{x_1}+\tan{x_2}}}{2}>\tan\dfrac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$；
② $\dfrac{{\tan{x_1}+\tan{x_2}}}{2}<\tan\dfrac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$；
③ $\dfrac{{\sin{x_1}+\sin{x_2}}}{2}>\sin\dfrac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$；
④ $\dfrac{{\sin{x_1}+\sin{x_2}}}{2}<\sin\dfrac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$．
中成立的是 \((\qquad)\)
① $ \dfrac{{\tan{x_1}+\tan{x_2}}}{2}>\tan\dfrac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$；
② $\dfrac{{\tan{x_1}+\tan{x_2}}}{2}<\tan\dfrac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$；
③ $\dfrac{{\sin{x_1}+\sin{x_2}}}{2}>\sin\dfrac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$；
④ $\dfrac{{\sin{x_1}+\sin{x_2}}}{2}<\sin\dfrac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$．
中成立的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年复旦大学自主选拔录取申请资格测试（B卷）
【标注】
【答案】
B
【解析】
因为 $y=\tan x$ 在 $\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right)$ 上是下凸函数，所以$$\dfrac{{\tan{x_1}+\tan{x_2}}}{2}>\tan\dfrac{{{x_1}+{x_2}}}{2}.$$因为 $y=\sin x$ 在 $\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right)$ 上是上凸函数，所以$$\dfrac{{\sin{x_1}+\sin{x_2}}}{2}<\sin\dfrac{{{x_1}+{x_2}}}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
