四面体有 $4$ 个顶点和 $6$ 条棱，每条棱有 $1$ 个中点，共有 $10$ 个点，从其中任取 $4$ 个不共面的点有以下几种情况：
情形一 $4$ 个点都是顶点，此时取法只有 $1$ 种．
情形二 $4$ 个点中有 $3$ 个顶点，此时取法共有 $4\cdot 3=12$ 种．
情形三 $4$ 个点中有 $2$ 个顶点，此时取法共有 $6({\rm C}_5^2-2)=48$ 种．
情形四 $4$ 个点中有 $1$ 个顶点，此时取法共有 $4({\rm C}_6^3-3)=68$ 种．
情形五 $4$ 个点中没有顶点，此时取法共有 ${\rm C}_6^4-3=12$ 种．
综上所述，从这 $10$ 个点中取 $4$ 个不共面的点的取法共有$$1+12+48+68+12=141(\text{种}).$$每不共面的 $4$ 个点可以构成 $3$ 个不同的空间四边形，则以这 $10$ 个点为顶点的空间四边形共有 $141\times 3=423$ 个．