从这 $10$ 个点中任取 $4$ 个，共有 ${\rm C}_{10}^4=210$ 种取法，其中取出的 $4$ 个点共面的情况共有以下 $3$ 种：
情形一 从每个面上的 $6$ 个点中任取 $4$ 个点都共面，这样的取法共有 $4{\rm C}_6^4=60$ 种．
情形二 每条棱上的 $3$ 个点与相对棱的中点共面，这样的取法共有 $6$ 种．
情形三 去掉 $1$ 组相对棱后，其余四棱的中点共面，这样的取法共有 $3$ 种．
综上所述，所取 $4$ 点共面的取法共有 $60+6+3=69$ 种．
因此所取 $4$ 点不共面的取法共有 $210-69=141$ 种．
每不共面的 $4$ 个点可以构成 $3$ 个不同的空间四边形，则以这 $10$ 个点为顶点的空间四边形共有 $141\times 3=423$ 个．