设 $f(n)$ 是正整数 $n$（十进制）的各数位上的数字的平方和，如 $f(123)=1^2+2^2+3^2=14$．记 $f_1(n)=f(n)$，$f_{k+1}(n)=f\left(f_k(n)\right),k=1,2,3,\cdots$，则 $f_{2016}(2016)$ 的值等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意，有\[\begin{array} {c|cccccccccccccccc}\hline
n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16 \\ \hline
f_n(2016)&41&17&50&25&29&85&89&145&42&20&4&16&37&58&89&145 \\ \hline \end{array}\]从第 $7$ 项起构成以 $8$ 为周期的数列，因此\[f_{2016}(2016)=f_8(2016)=145.\]
n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16 \\ \hline
f_n(2016)&41&17&50&25&29&85&89&145&42&20&4&16&37&58&89&145 \\ \hline \end{array}\]从第 $7$ 项起构成以 $8$ 为周期的数列，因此\[f_{2016}(2016)=f_8(2016)=145.\]
题目
答案
解析
备注
