$f(x)$ 是定义在 $(0,1)$ 上的函数，对任意 $1<x<y<+\infty$，有 $f\left(\dfrac1x\right)-f\left(\dfrac1y\right)=f\left(\dfrac{x-y}{1-xy}\right)$．记 $a_n=f\left(\dfrac{1}{n^2+5n+5}\right)(n\in\mathbb N^*)$，则 $a_1+a_2+\cdots+a_8=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
由于$$a_n=f\left(\dfrac{1}{n^2+5n+5}\right)=f\left(\dfrac{(n+2)-(n+3)}{1-(n+2)(n+3)}\right)=f\left(\dfrac{1}{n+2}\right)-f\left(\dfrac{1}{n+3}\right),$$所以\[\begin{split}a_1+a_2+\cdots+a_8&=f\left(\dfrac13\right)-f\left(\dfrac14\right)+f\left(\dfrac14\right)-f\left(\dfrac15\right)+\cdots+f\left(\dfrac{1}{10}\right)-f\left(\dfrac{1}{11}\right)\\&=f\left(\dfrac13\right)-f\left(\dfrac{1}{11}\right)\\&=f\left(\dfrac14\right).\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
