设双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点为 $F$，过点 $F$ 作与 $x$ 轴垂直的直线 $l$ 交两条渐近线于 $A,B$ 两点，$P$ 是 $l$ 与双曲线的一个交点．设 $O$ 为坐标原点，若有实数 $m,n$ 使得 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，且 $mn=\dfrac29$，则该双曲线的离心率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
将 $A\left(c,\dfrac{bc}{a}\right)$，$\left(c,-\dfrac{bc}{a}\right)$ 代入$$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB},$$得 $P\left((m+n)c,(m-n)\dfrac{bc}{a}\right)$，代入双曲线方程，得$$\dfrac{(m+n)^2c^2}{a^2}-\dfrac{(m-n)^2b^2c^2}{a^2b^2}=1,$$化简得$$4mnc^2=a^2,$$故$$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{4mn}}=\dfrac{3\sqrt2}{4}.$$
题目
答案
解析
备注
