在 $\triangle ABC$ 中，设 $BC=a,AC=b,AB=C$，则等式 $\sin^2\dfrac{A}{2}+\sin^2\dfrac{B}{2}+\sin^2\dfrac{C}{2}=\cos^2\dfrac{B}{2}$ 成立的充分必要条件是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
利用二倍角公式，题中不等式等价于$$\dfrac{1-\cos A}{2}+\dfrac{1-\cos B}{2}+\dfrac{1-\cos C}{2}=\dfrac{1+\cos B}{2},$$整理得$$\cos A+\cos C=2-2\cos B.$$根据积化和差与二倍角公式，得$$2\cos\dfrac{A+C}{2}\cos\dfrac{A-C}{2}=4\sin^2\dfrac{B}{2}.$$由 $A+B+C=\pi$，知$$\cos\dfrac{A+C}{2}=\sin\dfrac{B}{2},$$因此$$2\cos\dfrac{A-C}{2}=4\sin\dfrac{B}{2},$$两边同乘以 $\sin\dfrac{A+C}{2}$，得$$2\cos\dfrac{A-C}{2}\sin\dfrac{A+C}{2}=4\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{A+C}{2},$$利用积化和差与二倍角公式，得$$\sin A+\sin C=2\sin B,$$根据正弦定理，得 $a+c=2b$．
题目
答案
解析
备注
