设 $S=\{(x,y)\mid-2\leqslant y\leqslant|x|,-2\leqslant x\leqslant2\}$，则当 $(x,y)\in S$，且使得二次方程 $t^2+(|x|-1)t+|y|-2=0$ 的一个根大于 $1$，一个根小于 $1$ 的概率是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
如图，$S$ 是正方形 $-2\leqslant x\leqslant2$，$-2\leqslant y\leqslant2$ 在 $y=|x|$ 图象下方的区域，面积为$$A_s=16-4=12.$$
方程$$t^2+(|x|-1)t+|y|-2=0$$一个根大于 $1$，一个根小于 $1$ 等价于$$(t_1-1)(t_2-1)<0,$$即$$|x|+|y|<2,$$其在 $S$ 中部分的面积为$$A_p=8-2=6,$$故所求概率为 $P=\dfrac{A_p}{A_s}=\dfrac12$．
方程$$t^2+(|x|-1)t+|y|-2=0$$一个根大于 $1$，一个根小于 $1$ 等价于$$(t_1-1)(t_2-1)<0,$$即$$|x|+|y|<2,$$其在 $S$ 中部分的面积为$$A_p=8-2=6,$$故所求概率为 $P=\dfrac{A_p}{A_s}=\dfrac12$．
题目
答案
解析
备注
