设 $A,B,C,D$ 是以点 $O$ 为球心的球面上的四点，$AB,AC,AD$ 两两互相垂直，且 $AB=3\mathrm{cm}$，$AC=4\mathrm{cm}$，$AD=\sqrt{11}\mathrm{cm}$，则球的半径为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
以点 $A$ 为原点，分别以 $AB,AC,AD$ 所在射线为坐标 $x$ 轴，$y$ 轴和 $z$ 轴，建立空间直角坐标系，则 $B,C,D$ 的坐标分别为$$B(3,0,0),C(0,4,0),D(0,0,\sqrt{11}).$$设球面方程为$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2,$$其中 $O(x_0,y_0,z_0)$ 为坐标原点，$r$ 为球半径．
因为 $B,C,D$ 均在球面上，所以得到方程组$$\begin{cases}x_0^2+y_0^2+z_0^2=r^2,\\(x_0-3)^2+y_0^2+z_0^2=r^2,\\ x_0^2+(y_0-4)^2+z_0^2=r^2,\\x_0^2+y_0^2+(z_0-\sqrt{11})^2=r^2,\end{cases}$$解得 $x_0=\dfrac32,y_0=2,z_0=\dfrac{\sqrt{11}}{2},r=3\mathrm{cm}$．
因为 $B,C,D$ 均在球面上，所以得到方程组$$\begin{cases}x_0^2+y_0^2+z_0^2=r^2,\\(x_0-3)^2+y_0^2+z_0^2=r^2,\\ x_0^2+(y_0-4)^2+z_0^2=r^2,\\x_0^2+y_0^2+(z_0-\sqrt{11})^2=r^2,\end{cases}$$解得 $x_0=\dfrac32,y_0=2,z_0=\dfrac{\sqrt{11}}{2},r=3\mathrm{cm}$．
题目
答案
解析
备注
