称分子和分母的最大公约数为 $1$ 的分数为既约分数，所有分母为 $100$ 的正的既约真分数之和为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
由 $100=2^25^2$，令\[\begin{split}&A=\{n\mid 2\mid n,n\leqslant100,n\in\mathbb N^*\},\\&B=\{n\mid5\mid n,n\leqslant100,n\in\mathbb N^*\},\end{split}\]则$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=60,$$因此符合条件的真分数共有 $40$ 个．
又因为若正数 $i$ 和 $100$ 互质，则 $100-i$ 和 $100$ 也互质．因此若 $\dfrac{i}{100}$ 是一个正的既约真分数，则 $\dfrac{100-i}{100}$ 也为一个正的既约真分数，则$$\dfrac{100-i}{100}+\dfrac{i}{100}=1.$$因此所有真分数之和为 $20$．
又因为若正数 $i$ 和 $100$ 互质，则 $100-i$ 和 $100$ 也互质．因此若 $\dfrac{i}{100}$ 是一个正的既约真分数，则 $\dfrac{100-i}{100}$ 也为一个正的既约真分数，则$$\dfrac{100-i}{100}+\dfrac{i}{100}=1.$$因此所有真分数之和为 $20$．
题目
答案
解析
备注
