某科室安排国庆节放假期间（共放假 $8$ 天）甲、乙、丙、丁四人的值班表．已知甲、乙各值班四天，甲不能在第一天值班且甲、乙不在同一天值班；丙需要值班 $3$ 天，且不能连续值班；丁需要值班 $5$ 天；规定每天必须两人值班．问符合条件的不同的值班方案共有 \((\qquad)\) 种．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
先考虑甲、乙．
甲不在第一天值班，可在后面 $7$ 天中任选四天，因此有 $\mathrm{C}_7^4$ 中排法，余下的分派给乙为 $\mathrm{C}_4^4$．
再考虑丙，丁．设丙的值班日分别安排在假期的第 $n_1$，第 $n_2$，第 $n_3$ 天，则由题意知 $n_1,n_2,n_3$ 互不相邻，且 $1\leqslant n_1<n_2<n_3\leqslant8$．
令 $m_1=n_1,m_2=n_2-1,m_3=n_3-2$，则有$$1\leqslant m_1<m_2<m_3\leqslant6.$$显然，$n_1,n_2,n_3$ 互不相邻等价于 $m_1,m_2,m_3$ 互不相同，且 $\{n_1,n_2,n_3\}$ 和 $\{m_1,m_2,m_3\}$ 的对应是一个一一对应，所以丙的值班安排共有 $\mathrm{C}_6^3$ 个不同的方案，从而丁的值班方案个数为 $\mathrm{C}_5^5$．
由乘法原理知甲、乙、丙、丁的不同值班方案种数为$$\mathrm{C}_7^3\cdot\mathrm{C}_4^4\cdot\mathrm{C}_6^3\cdot\mathrm{C}_5^5=700.$$
甲不在第一天值班，可在后面 $7$ 天中任选四天，因此有 $\mathrm{C}_7^4$ 中排法，余下的分派给乙为 $\mathrm{C}_4^4$．
再考虑丙，丁．设丙的值班日分别安排在假期的第 $n_1$，第 $n_2$，第 $n_3$ 天，则由题意知 $n_1,n_2,n_3$ 互不相邻，且 $1\leqslant n_1<n_2<n_3\leqslant8$．
令 $m_1=n_1,m_2=n_2-1,m_3=n_3-2$，则有$$1\leqslant m_1<m_2<m_3\leqslant6.$$显然，$n_1,n_2,n_3$ 互不相邻等价于 $m_1,m_2,m_3$ 互不相同，且 $\{n_1,n_2,n_3\}$ 和 $\{m_1,m_2,m_3\}$ 的对应是一个一一对应，所以丙的值班安排共有 $\mathrm{C}_6^3$ 个不同的方案，从而丁的值班方案个数为 $\mathrm{C}_5^5$．
由乘法原理知甲、乙、丙、丁的不同值班方案种数为$$\mathrm{C}_7^3\cdot\mathrm{C}_4^4\cdot\mathrm{C}_6^3\cdot\mathrm{C}_5^5=700.$$
题目
答案
解析
备注
