已知 $f(x)=\dfrac{x^4+kx^2+1}{x^4+x^2+1}(k,x\in\mathbb R)$，则 $f(x)$ 的最大值 $f(x)_{\max}$ 与最小值 $f(x)_{\min}$ 的乘积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
化简得$$f(x)=1+\dfrac{(k-1)x^2}{x^4+x^2+1},$$而$$x^4+1\geqslant2x^2,$$所以$$0\leqslant\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}\leqslant\dfrac13.$$当 $k\geqslant1$ 时，$f(x)_{\max}=\dfrac{k+2}{3}$，$f(x)_{\min}=1$；
当 $k<1$ 时，$f(x)_{\min}=\dfrac{k+2}{3}$，$f(x)_{\max}=1$．
因此 $f(x)_{\max}\cdot f(x)_{\min}=\dfrac{k+2}{3}$．
当 $k<1$ 时，$f(x)_{\min}=\dfrac{k+2}{3}$，$f(x)_{\max}=1$．
因此 $f(x)_{\max}\cdot f(x)_{\min}=\dfrac{k+2}{3}$．
题目
答案
解析
备注
