方程 $2x^2+5xy+2y^2=126$ 的所有不同整数解的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为$$2x^2+5xy+2y^2=(2x+y)(x+2y),$$且$$126=2\cdot 3^2\cdot 7,$$所以 $2x+y$ 和 $x+2y$ 中至少有一个为 $3$ 的倍数．
又因为$$2x+y+x+2y=3(x+y),$$所以 $2x+y$ 和 $x+2y$ 均为 $3$ 的倍数，所以$$\begin{cases}2x+y=3m,\\ x+2y=3n,\\ m,n\in \mathbb N^*.\end{cases}$$则$$m\cdot n=2\cdot 7,$$故 $(m,n)$ 的取值有$$(1,14),(2,7),(7,2),(14,1),(-1,-14),(-2,-7),(-7,-2),(-14,-1),$$对应方程组的解 $(x,y)$ 分别为$$(-12,27),(-3,12),(12,-3),(27,-12),(12,-27),(3,-12),(-12,3),(-27,12)$$共 $8$ 组解．
又因为$$2x+y+x+2y=3(x+y),$$所以 $2x+y$ 和 $x+2y$ 均为 $3$ 的倍数，所以$$\begin{cases}2x+y=3m,\\ x+2y=3n,\\ m,n\in \mathbb N^*.\end{cases}$$则$$m\cdot n=2\cdot 7,$$故 $(m,n)$ 的取值有$$(1,14),(2,7),(7,2),(14,1),(-1,-14),(-2,-7),(-7,-2),(-14,-1),$$对应方程组的解 $(x,y)$ 分别为$$(-12,27),(-3,12),(12,-3),(27,-12),(12,-27),(3,-12),(-12,3),(-27,12)$$共 $8$ 组解．
题目
答案
解析
备注
