已知函数 $f(x)=x^2-2x+a(\mathrm e^{x-1}+\mathrm e^{-x+1})$ 有唯一的零点，则 $a=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
函数 $f(x)=-1+(x-1)^2+a\left[{\rm e}^{x-1}+{\rm e}^{-(x-1)}\right]$ 满足\[f(1-x)=f(1+x),\]因此函数 $f(x)$ 的图象关于 $x=1$ 对称．根据题意，$x=1$ 为函数 $f(x)$ 的零点，从而\[f(1)=-1+2a=0,\]解得 $a=\dfrac 12$．
事实上，当 $a=\dfrac 12$ 时，有\[-1+(x-1)^2+\dfrac 12\left[{\rm e}^{x-1}+{\rm e}^{-(x-1)}\right]\geqslant 0,\]等号当且仅当 $x=1$ 时取得，因此 $a=\dfrac 12$ 符合题意．
事实上，当 $a=\dfrac 12$ 时，有\[-1+(x-1)^2+\dfrac 12\left[{\rm e}^{x-1}+{\rm e}^{-(x-1)}\right]\geqslant 0,\]等号当且仅当 $x=1$ 时取得，因此 $a=\dfrac 12$ 符合题意．
题目
答案
解析
备注
