如图，已知平面四边形 $ABCD$，$AB\perp BC$，$AB=BC=AD=2$，$CD=3$．$AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，记 $I_1=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$，$I_2=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$，$I_3=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}$，则 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
如图，作线段 $AC$ 的垂直平分线 $l$．
由于 $DA<DC$，因此 $A,D$ 在直线 $l$ 同侧，进而 $OA<OC$，$\angle ABO<45^\circ$，进而$$\angle AOD=\angle ABO+\angle BAO<90^\circ,$$在等腰三角形 $ABD$ 中，$OB<OD$．这样就有\[I_3=|OC|\cdot |OD|\cdot \cos\angle COD<|OA|\cdot |OB|\cdot \cos\angle AOB=I_1<0<I_2.\]
由于 $DA<DC$，因此 $A,D$ 在直线 $l$ 同侧，进而 $OA<OC$，$\angle ABO<45^\circ$，进而$$\angle AOD=\angle ABO+\angle BAO<90^\circ,$$在等腰三角形 $ABD$ 中，$OB<OD$．这样就有\[I_3=|OC|\cdot |OD|\cdot \cos\angle COD<|OA|\cdot |OB|\cdot \cos\angle AOB=I_1<0<I_2.\]
题目
答案
解析
备注
