若函数 ${\rm e}^xf(x)$（${\rm e}=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f(x)$ 具有 $M$ 性质．下列函数中具有 $M$ 性质的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
对于选项A，有 ${\rm e}^xf(x)=\left(\dfrac{\rm e}2\right)^x$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，因此函数 $f(x)$ 具有 $M$ 性质；
对于选项B，有\[\left({\rm e}^xf(x)\right)'={\rm e}^x\left(x^2+2x\right)={\rm e}^x\cdot x\left(x+2\right),\]而在 $(-\infty,-2)$ 上，函数 ${\rm e}^xf(x)$ 单调递减，因此函数 $f(x)$ 不具有 $M$ 性质；
对于选项C，有 ${\rm e}^xf(x)=\left(\dfrac{\rm e}3\right)^x$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，因此函数 $f(x)$ 不具有 $M$ 性质；
对于选项D，有\[\left({\rm e}^xf(x)\right)'={\rm e}^x\left(\cos x-\sin x\right)={\rm e}^x\cdot \sqrt 2\sin \left(x+\dfrac{3\pi}4\right),\]而在 $\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{5\pi}4\right)$ 上，函数 ${\rm e}^xf(x)$ 单调递减，因此函数 $f(x)$ 不具有 $M$ 性质．
对于选项B，有\[\left({\rm e}^xf(x)\right)'={\rm e}^x\left(x^2+2x\right)={\rm e}^x\cdot x\left(x+2\right),\]而在 $(-\infty,-2)$ 上，函数 ${\rm e}^xf(x)$ 单调递减，因此函数 $f(x)$ 不具有 $M$ 性质；
对于选项C，有 ${\rm e}^xf(x)=\left(\dfrac{\rm e}3\right)^x$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，因此函数 $f(x)$ 不具有 $M$ 性质；
对于选项D，有\[\left({\rm e}^xf(x)\right)'={\rm e}^x\left(\cos x-\sin x\right)={\rm e}^x\cdot \sqrt 2\sin \left(x+\dfrac{3\pi}4\right),\]而在 $\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{5\pi}4\right)$ 上，函数 ${\rm e}^xf(x)$ 单调递减，因此函数 $f(x)$ 不具有 $M$ 性质．
题目
答案
解析
备注
