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已知函数 $ f(x)=\begin{cases}|x|+2 ,x<1,\\x+ \dfrac 2x,x \geqslant 1.\end{cases}$ 设 $a \in \mathbb R$，若关于 $x$ 的不等式 $f(x)\geqslant \left|\dfrac x2+a\right|$ 在 $ \mathbb R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是  \((\qquad)\)  %
A: $[-2,2]$
B: $[-2\sqrt 3,2]$
C: $[-2,2\sqrt 3]$
D: $[-2\sqrt 3,2\sqrt 3]$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    分式函数
【答案】
A
【解析】
根据题意，有\[-f(x)-\dfrac x2\leqslant a\leqslant f(x)-\dfrac x2,\]而\[f(x)-\dfrac x2=\begin{cases}-\dfrac 32x+2,&x<0,\\ \dfrac x2+2,& 0\leqslant x<1,\\ \dfrac x2+\dfrac 2x,&x\geqslant 1,\end{cases}\]其最小值为 $2$；另一方面，有\[-f(x)-\dfrac x2=\begin{cases} \dfrac x2-2,&x<0,\\ -\dfrac 32x-2,& 0\leqslant x<1,\\ -\dfrac{3x}2-\dfrac 2x,&x\geqslant 1,\end{cases}\]其最大值为 $-2$．综上所述，$a$ 的取值范围是 $[-2,2]$．
题目 答案 解析 备注
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