设函数 $f(x)=\sqrt{\mathrm e^x+x-a}$（$a \in \mathbb R,\mathrm e$ 为自然对数的底数）．若曲线 $y=\sin x$ 上存在点 $\left(x_0,y_0 \right)$ 使得 $f\left(f\left(y_0\right)\right)=y_0$，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
易知，$f(x)$ 在其定义域上单调递增，此时 $f\left(f\left(y_0\right)\right)=y_0$ 的充要条件是 $f\left(y_0\right)=y_0$．
所以原问题等价于存在 $y_0\in [0,1]$，使得$$\mathrm e^{y_0}+y_0-a=y_0^2,$$即$$a=\mathrm e^{y_0}-y_0^2+y_0.$$令 $g(t)=\mathrm e^t-t^2+t\left(t\in [0,1]\right)$，则$$g'(t)=\mathrm e^t-2t+1 \geqslant t+1-2t+1=2-t>0,$$所以 $g(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增．因为$$g(0)=1,g(1)=\mathrm e,$$所以 $g(t)$ 在 $[0,1]$ 上的值域为 $\left[1,\mathrm e\right]$．
所以原问题等价于存在 $y_0\in [0,1]$，使得$$\mathrm e^{y_0}+y_0-a=y_0^2,$$即$$a=\mathrm e^{y_0}-y_0^2+y_0.$$令 $g(t)=\mathrm e^t-t^2+t\left(t\in [0,1]\right)$，则$$g'(t)=\mathrm e^t-2t+1 \geqslant t+1-2t+1=2-t>0,$$所以 $g(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增．因为$$g(0)=1,g(1)=\mathrm e,$$所以 $g(t)$ 在 $[0,1]$ 上的值域为 $\left[1,\mathrm e\right]$．
题目
答案
解析
备注
