设双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$，$F_{2}$，点 $A$ 是过 $F_{2}$ 且倾斜角为 $\dfrac{\pi}{4}$ 的直线与双曲线的一个交点，若 $\triangle F_{1}F_{2}A$ 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为$$||AF_{1}|-|AF_{2}||=2a,$$要使 $\triangle F_{1}F_{2}A$ 为等腰三角形，则$$|AF_{1}|-|AF_{2}|=2a,|AF_{2}|=|F_{1}F_{2}|=2c,$$由勾股定理得\[[2(a+c)]^{2}=2(2c)^{2},\]解得 $\dfrac{c}{a}=\sqrt 2+1$．
题目
答案
解析
备注
