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已知 $a,b\in\mathbb R$，函数 $f(x)=ax-b$．若对任意 $x\in[-1,1]$，有 $0\leqslant f(x)\leqslant 1$，则 $\dfrac{3a+b+1}{a+2b-2}$ 的取值范围为 \((\qquad)\)
A: $\left[-\dfrac{1}{2},0\right]$
B: $\left[-\dfrac{4}{5},0\right]$
C: $\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{7}\right]$
D: $\left[-\dfrac{4}{5},\dfrac{2}{7}\right]$
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
由题意得 $\begin{cases}0\leqslant f(1)\leqslant 1,\\ 0\leqslant f(-1)\leqslant 1,\end{cases}$ 即$$\begin{cases}0\leqslant a-b\leqslant 1,\\ -1\leqslant a+b\leqslant 0.\end{cases}$$令 $\begin{cases}u=a+b,\\ v=a-b,\end{cases}$ 则\[\begin{cases}a=\dfrac{u+v}{2},\\ b=\dfrac{u-v}{2},\end{cases}\]所以\[\dfrac{3a+b+1}{a+2b-2}=\dfrac{4\mu +2v+2}{3u-v-4}=-2+\dfrac{10}{3-\left(\dfrac{5v+11}{5u-3}\right)},\]由此即知\[-\dfrac{4}{5}\leqslant \dfrac{3a+b+1}{a+2b-2}\leqslant \dfrac{2}{7}.\]
题目 答案 解析 备注
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