设正三角形 $\triangle_1$ 的面积为 $S_1$，作 $\triangle_1$ 的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为 $\triangle_2$，面积为 $S_2$，如此下去作一系列的正三角形 $\triangle_3,\triangle_4,\cdots$，其面积相应为 $S_3,S_4,\cdots$，设 $S_1=1,T_n=S_1+S_2+\cdots+S_n$，则 $\lim\limits_{m\to+\infty}{T_n}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
这一系列的三角形是相似三角形，相似比为 $\dfrac12$，故面积成等比递缩数列，公比为 $\dfrac14$．
根据等比数列求和公式，得$$T_n=\dfrac {1\cdot \left(1-\left(\frac 14\right)^n\right)}{1-\frac 14}=\dfrac 43\left(1-\left(\dfrac 14\right)^n\right),$$因此有 $\lim\limits_{n\to+\infty}{T_n}=\dfrac43$．
根据等比数列求和公式，得$$T_n=\dfrac {1\cdot \left(1-\left(\frac 14\right)^n\right)}{1-\frac 14}=\dfrac 43\left(1-\left(\dfrac 14\right)^n\right),$$因此有 $\lim\limits_{n\to+\infty}{T_n}=\dfrac43$．
题目
答案
解析
备注
