设抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，顶点为 $O$，$M$ 是抛物线上的动点，则 $\dfrac{|MO|}{|MF|}$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
由条件知 $F(1,0),O(0,0)$，设点 $M$ 坐标为 $(x,y)$，显然 $x\geqslant 0$，则$$\begin{split}\left(\dfrac{|MO|}{|MF|}\right)^2&=\dfrac{x^2+y^2}{(x-1)^2+y^2}\\&=\dfrac{x^2+4x}{x^2+2x+1}\\&=\dfrac43-3\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac13\right)^2\\ &\leqslant\dfrac43,\end{split}$$当 $x=2$ 时等号成立，故 $\dfrac{|MO|}{|MF|}$ 的最大值为 $\dfrac{2\sqrt3}{3}$．
题目
答案
解析
备注
