一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 $a$ 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数 $\dfrac mn$，那么积 $m \cdot n$ 等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设正六面体的内切球半径为 $r_1$，正八面体的内切球半径为 $r_2$．
利用等体积法，得$$6\cdot \dfrac {\sqrt 3}{4}a^2\cdot r_1=2\cdot \dfrac 13\cdot\dfrac {\sqrt 3}{4}a^2\cdot \dfrac {\sqrt6}{3}a,$$而$$8\cdot \dfrac {\sqrt 3}{4}a^2\cdot r_2=2\cdot \dfrac 13\cdot a^2\cdot \dfrac {\sqrt 2}{2}a,$$所以$$\dfrac mn=\dfrac {r_1}{r_2}=\dfrac 23,$$故 $m\cdot n=6$．
利用等体积法，得$$6\cdot \dfrac {\sqrt 3}{4}a^2\cdot r_1=2\cdot \dfrac 13\cdot\dfrac {\sqrt 3}{4}a^2\cdot \dfrac {\sqrt6}{3}a,$$而$$8\cdot \dfrac {\sqrt 3}{4}a^2\cdot r_2=2\cdot \dfrac 13\cdot a^2\cdot \dfrac {\sqrt 2}{2}a,$$所以$$\dfrac mn=\dfrac {r_1}{r_2}=\dfrac 23,$$故 $m\cdot n=6$．
题目
答案
解析
备注
