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如果 $x\in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时总有 $\sin x>kx$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(-\infty,\dfrac{\pi}{2}\right]$
B: $\left(-\infty,\dfrac{\pi}{2}\right) $
C: $\left(-\infty,\dfrac 2{\pi}\right]$
D: $\left(-\infty,\dfrac 2{\pi}\right)$
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数问题中的技巧
    >
    端点分析
【答案】
C
【解析】
因为 $y=\sin x$ 是上凸函数，在 $x=\dfrac {\pi}{2}$ 处函数值为 $1$．
情形一 当 $k>\dfrac {2}{\pi}$ 时，在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上，必然存在一点 $x_0$ 使得 $\sin x_0<kx_0$；
情形二 当 $k\leqslant \dfrac {2}{\pi}$ 时，$y=kx$ 的图象始终在 $y=\sin x$ 下方，易知选C．
题目 答案 解析 备注
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