在半径为 $1$ 的 $\odot O$ 上，取一个定点 $A$ 和一个动点 $B$．设点 $P$ 满足 $AP\parallel OB$ 且 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=1$，则 $P$ 点的轨迹是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
不妨设 $O(0,0)$，$A(1,0)$，$P(x,y)$，由于 $AP\parallel OB$，可设 $B(k(x-1),ky)$．
将各点坐标代入$$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=1,$$可得$$k=\dfrac x{(x-1)^2+y^2}.$$最后，利用 $B$ 在 $\odot O$ 上，即可得到 $(x,y)$ 满足的方程为$$x^2=(x-1)^2+y^2,$$即$$y^2=2x-1,$$所以 $P$ 的轨迹是抛物线．
将各点坐标代入$$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=1,$$可得$$k=\dfrac x{(x-1)^2+y^2}.$$最后，利用 $B$ 在 $\odot O$ 上，即可得到 $(x,y)$ 满足的方程为$$x^2=(x-1)^2+y^2,$$即$$y^2=2x-1,$$所以 $P$ 的轨迹是抛物线．
题目
答案
解析
备注
