数列 $\dfrac 12$，$\dfrac 13$，$\dfrac 23$，$\dfrac 14$，$\dfrac 24$，$\dfrac 34$，$\cdots$，$\dfrac 1{m+1}$，$\dfrac {2}{m+1}$，$\cdots$，$\dfrac {m}{m+1}$，$\cdots$ 的前 $40$ 项的和是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设第 $40$ 项 $a_{40}$ 的分母为 $m+1$，则$$\dfrac {m(m-1)}{2}<40\leqslant \dfrac {m(m+1)}{2},$$解得 $m=9$，所以$$\dfrac {m(m-1)}{2}=36,$$故 $a_{40}=\dfrac {4}{10}$．
因此\[\begin{split}S_{40}&=\dfrac 12+\dfrac 13(1+2)+\dfrac 14(1+2+3)+\cdots+\dfrac 19(1+2+3+\cdots+8)+\dfrac {1}{10}(1+2+3+4)\\&=\dfrac 12+1+\dfrac 32+\cdots +\dfrac 72+4+1=19.\end{split}\]
因此\[\begin{split}S_{40}&=\dfrac 12+\dfrac 13(1+2)+\dfrac 14(1+2+3)+\cdots+\dfrac 19(1+2+3+\cdots+8)+\dfrac {1}{10}(1+2+3+4)\\&=\dfrac 12+1+\dfrac 32+\cdots +\dfrac 72+4+1=19.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
