记 $F(x,y)=(x-y)^2+\left(\dfrac x3+\dfrac 3y\right)^2$（$y\neq 0$），则 $F(x,y)$ 的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设动点 $P\left(x,-\dfrac {x}{3}\right)$，$Q\left(y, \dfrac {3}{y}\right)$，则$$F(x,y)=|PQ|^2.$$因为点 $P$ 的轨迹为直线 $y=-\dfrac x3$，点 $Q$ 的轨迹为双曲线 $y=\dfrac 3x$，而双曲线上的任意一点 $ \left(x_0, \dfrac {3}{x_0}\right)$ 到直线 $x+3y=0$ 的距离：$$d=\dfrac {\left|x_0+3\cdot \dfrac {3}{x_0}\right|}{\sqrt {10}}\geqslant \dfrac {6}{\sqrt {10}},$$当 $x_0=\pm3$ 时等号成立．
因此 $F(x,y)$ 的最小值为 $\dfrac {18}{5}$，故选C．
因此 $F(x,y)$ 的最小值为 $\dfrac {18}{5}$，故选C．
题目
答案
解析
备注
