已知集合\[\begin{split}A &= \left\{ \left( {x , y} \right)\mid x = n , y = na + b , n \in \mathbb Z \right\},\\B &= \left\{ \left( {x , y} \right)\mid x = m , y = 3{m^2} + 12 , m \in \mathbb Z \right\}.\end{split}\]若存在实数 $a , b$ 使得 $A \cap B \neq \varnothing $ 成立，称点 $\left( {a , b} \right)$ 为" $\alpha $ "点，则" $\alpha $ "点在平面区域$$C = \left\{ {\left( {x , y} \right)\mid {x^2} + {y^2} \leqslant 108} \right\}$$内的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
本题也可以从代数角度考虑，由方程 $ax + b = 3{x^2} + 12$ 有解得到判别式 $\Delta\geqslant 0$，即$$a^2+12b-144\geqslant 0,$$与不等式 $a^2+b^2\leqslant 108$ 结合可以得到$$a=\pm 6\sqrt 2,b=6.$$此时方程 $ax + b = 3{x^2} + 12$ 有唯一解，但不是整数，故" $\alpha$ "点不存在．
题目
答案
解析
备注
