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已知函数 $f(x)=x^2-4x+3$，集合 $M,N$ 分别为$$M=\{(x,y)\mid f(x)+f(y) \leqslant 0\},N=\{(x,y)\mid f(x)-f(y) \geqslant 0\},$$则在平面直角坐标系内集合 $M\cap N$ 所表示的区域的面积是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac {\pi}{4}$
B: $\dfrac {\pi}{2}$
C: $\pi$
D: $2\pi$
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    不等式(组)的规划
  • 知识点
    >
    函数
    >
    集合与映射
    >
    集合的运算
【答案】
C
【解析】
由已知可得\[\begin{split} M&=\{(x,y)\mid f(x)+f(y) \leqslant 0\}=\{(x,y)\mid (x-2)^2+(y-2)^2 \leqslant 2\},\\ N&=\{(x,y)\mid f(x)-f(y) \geqslant 0\}=\{(x,y)\mid (x-y)(x+y-4) \geqslant 0\},\end{split}\]所以$$ \begin{split}M\cap N &=\{(x,y)\mid (x-2)^2+(y-2)^2 \leqslant 2,(x-y)(x+y-4) \geqslant 0\}.\end{split}$$作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，即为$$\dfrac 12 \pi \cdot {\sqrt 2}^2=\pi.$$
题目 答案 解析 备注
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