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若集合 $M=\left \{x\mid \log_{\frac 12}(x-1)>-1\right\}$，$ N=\left\{ x\mid 1<2^x<4\right\}$，则 $M\cap N=$  \((\qquad)\)
A: $\left \{x\mid 1 < x <3\right \}$
B: $\left \{x\mid 1 < x <2\right \}$
C: $\left \{x\mid 0 < x <3\right \}$
D: $\{x\mid 0<x<2\}$
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    解不等式
    >
    解函数不等式
  • 知识点
    >
    函数
    >
    集合与映射
    >
    集合的运算
【答案】
B
【解析】
因为 $x\in M$，所以 $\log_{\frac 12}(x-1)>-1$，故$$\begin{cases}x-1>0,\\ x-1<\left(\dfrac 12\right)^{-1},\end{cases}$$解得$$1<x<3.$$对 $x\in N$，因为 $1<2^x<4$，所以$$0<x<2.$$因此 $M\cap N=\{x\mid 1<x<2\}$．
题目 答案 解析 备注
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