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设 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 $\overrightarrow{A_1A_3}=\lambda\overrightarrow{A_1A_2}$，$\overrightarrow{A_1A_4}=\mu\overrightarrow{A_1A_2}$（$\lambda,\mu\in\mathbb R$）且 $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}=2$，则称 $A_3,A_4$ 调和分割 $A_1,A_2$．已知平面上的点 $C,D$ 调和分割点 $A,B$，则下面说法正确的是  \((\qquad)\)
A: $C$ 可能是线段 $AB$ 的中点
B: $D$ 可能是线段 $AB$ 的中点
C: $C,D$ 可能同时在线段 $AB$ 上
D: $C,D$ 不可能同时在线段 $AB$ 的延长线上
【难度】
【出处】
2011年高考山东卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
情形一 当 $C$ 或 $D$ 为线段的中点时，得到 $\lambda$ 或 $\mu$ 为 $\dfrac12$，矛盾．
情形二 若 $C,D$ 同时在线段 $AB$ 上，则 $0<\lambda,\mu<1$，矛盾．
情形三 若 $C,D$ 同时在线段 $AB$ 的延长线上，则 $\lambda,\mu>1$，从而$$0<\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}<2,$$矛盾，故 $C,D$ 不可能同时在线段 $AB$ 的延长线上．
题目 答案 解析 备注
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