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如图所示棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，边长为 $a$，$PD=a$，$PA=PC=\sqrt2a$，这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为  \((\qquad)\)
A: $\left(\sqrt2-1\right)a$
B: $\sqrt2a$
C: $\left(1-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)a$
D: $a$
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
由题意知所求为四棱锥的内切球，通过等体积法有$$V_{P-ABCD}=\dfrac13a^2\cdot a=\dfrac13\left(a^2+2\cdot\dfrac12a^2+2\cdot\dfrac12a\cdot\sqrt2a\right)r,$$解得 $r=\left(1-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)a$．
题目 答案 解析 备注
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