设等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $\dfrac{\sin^2a_3-\cos^2a_3+\cos^2a_3\cos^2a_6-\sin^2a_3\sin^2a_6}{\sin(a_4+a_5)}=1$，公差 $d\in(-1,0)$．若当且仅当 $n=9$ 时，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 取得最大值，则首项 $a_1$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
令 $M=\dfrac{\sin^2a_3-\cos^2a_3+\cos^2a_3\cos^2a_6-\sin^2a_3\sin^2a_6}{\sin(a_4+a_5)}$，则有\[\begin{split}M&=\dfrac{\sin^2a_3(1-\sin^2a_6)-\cos^2a_3(1-\cos^2a_6)}{\sin(a_4+a_5)}\\&=\dfrac{\sin^2a_3\cos^2a_6-\cos^2a_3\sin^2a_6}{\sin(a_4+a_5)}\\&=\dfrac{\sin(a_3+a_6)\sin(a_3-a_6)}{\sin(a_4+a_5)}\\&=\sin(a_3-a_6)\\&=1,\end{split}\]所以$$a_3-a_6=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb Z,$$即$$-3d=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,$$解得$$d=-\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{2k\pi}{3}.$$又因为 $d\in(-1,0)$，所以 $d=-\dfrac{\pi}{6}$．
因为 $S_n$ 中 $S_9$ 最大，所以 $a_9>0,a_{10}<0$，即$$\begin{cases}a_9=a_1+8\cdot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)>0,\\a_{10}=a_1+9\cdot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)<0,\end{cases}$$解得 $\dfrac{4\pi}{3}<a_1<\dfrac{3\pi}{3}$．
因为 $S_n$ 中 $S_9$ 最大，所以 $a_9>0,a_{10}<0$，即$$\begin{cases}a_9=a_1+8\cdot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)>0,\\a_{10}=a_1+9\cdot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)<0,\end{cases}$$解得 $\dfrac{4\pi}{3}<a_1<\dfrac{3\pi}{3}$．
题目
答案
解析
备注
