设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2$，$a_{n+1}=1-\dfrac 1{a_n}$，记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之积为 $P_n$，则 $P_{2009}$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
因为$$a_{n+2}=1-\dfrac 1{a_{n+1}}=1-\dfrac 1{1-\dfrac 1{a_n}}=\dfrac{-1}{a_n-1},$$所以$$a_{n+3}=1-\dfrac 1{a_{n+2}}=1-\dfrac 1{\dfrac {-1}{a_n-1}}=a_n,$$故 $\{a_n\}$ 是以 $3$ 为周期的周期数列．
又 $a_1=2$，$a_2=\dfrac 12$，$a_3=-1$，从而 $P_3=-1$，所以$$P_{2009}=(-1)^{669}P_2=-1.$$
又 $a_1=2$，$a_2=\dfrac 12$，$a_3=-1$，从而 $P_3=-1$，所以$$P_{2009}=(-1)^{669}P_2=-1.$$
题目
答案
解析
备注
