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已知关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}x^2+y^2=2k^2,\\ kx-y=2k,\end{cases}$ 仅有一组实数解，则符合条件的实数 $k$ 的个数是 \((\qquad)\)
A: $1$
B: $2$
C: $3$
D: $4$
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
情形一 若 $k=0$，显然方程组仅有一组解 $(0,0)$，故 $k=0$ 符合条件．
情形二 若 $k\ne 0$，则 $x^2+y^2=2k^2$ 的图象是一个以 $(0,0)$ 为圆心，以 $r=\sqrt 2|k|$ 为半径的圆，而 $kx-y=2k$ 表示直线．
由题设条件知$$\dfrac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt 2|k|,$$即$$\dfrac{4k^2}{1+k^2}=2k^2,$$解得 $k=\pm 1$．
综上所述，符合条件的实数 $k$ 共有 $3$ 个．
题目 答案 解析 备注
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