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对任意的 $x\in \mathbb R$，$[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，则满足 $\big[|x^2-1|\big]=10$ 的 $x$ 的集合是 \((\qquad)\)
A: $\left(-2\sqrt 3 ,-\sqrt{11}\right)$
B: $\left[\sqrt{11},2\sqrt 3\right]$
C: $\left(-2\sqrt 3,-\sqrt{11}]\cup[\sqrt{11},2\sqrt 3\right)$
D: $\left[-2\sqrt 3,-\sqrt{11})\cup(\sqrt{11},2\sqrt 3\right]$
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    高斯函数
【答案】
C
【解析】
由对 $[x]$ 的规定知$$[x]\leqslant x<[x]+1,$$所以有$$10\leqslant \left|x^2-1\right|<11.$$情形一当 $x^2\leqslant 1$ 时，有$$10\leqslant 1-x^2<11,$$无解．
情形二当 $x^2>1$ 时，有$$10\leqslant x^2-1<11,$$解得 $\sqrt{11}\leqslant x<2\sqrt 3$ 或 $-2\sqrt 3<x\leqslant -\sqrt{11}$．
题目 答案 解析 备注
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