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若实数 $a,b$ 满足 $\begin{cases}a+b-2\geqslant0,\\b-a-1\leqslant0,\\a\leqslant1,\end{cases}$ 则 $\dfrac{a+2b}{2a+b}$ 的最大值为  \((\qquad)\)
A: $1$
B: $\dfrac54$
C: $\dfrac75$
D: $2$
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    不等式(组)的规划
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    转化为斜率
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
【答案】
C
【解析】
由 $a,b$ 满足的条件知$$1\leqslant\dfrac{b}{a}\leqslant3,$$所以$$\dfrac{a+2b}{2a+b}=2-\dfrac{3}{2+\frac{b}{a}}\leqslant\dfrac75,$$当 $(a,b)=\left(\dfrac12,\dfrac32\right)$ 时取等号．
题目 答案 解析 备注
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