若过点 $P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)$ 作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为 $a$，面积为 $S$，过点 $P$ 的直线的倾斜角为 $\theta\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$．
当过点 $P,Q$ 的直线为正方形的对边所在的直线时，$$|PQ|\sin\theta=a=|RS|\cos\theta,$$整理并解得 $\sin\theta=\dfrac{4}{\sqrt{17}}$，此时正方形的面积$$S=\left(|PQ|\sin\theta\right)^2=\dfrac{16}{17}.$$同理，当过点 $P,R$ 的直线为正方形的对边所在的直线时，$S=\dfrac{36}{5}$；
当过点 $P,S$ 的直线为正方形的对边所在的直线时，$S=\dfrac{196}{53}$．
当过点 $P,Q$ 的直线为正方形的对边所在的直线时，$$|PQ|\sin\theta=a=|RS|\cos\theta,$$整理并解得 $\sin\theta=\dfrac{4}{\sqrt{17}}$，此时正方形的面积$$S=\left(|PQ|\sin\theta\right)^2=\dfrac{16}{17}.$$同理，当过点 $P,R$ 的直线为正方形的对边所在的直线时，$S=\dfrac{36}{5}$；
当过点 $P,S$ 的直线为正方形的对边所在的直线时，$S=\dfrac{196}{53}$．
题目
答案
解析
备注
