已知 $f(x)=2x^2+3px+2q$ 和 $\varphi(x)=x+\dfrac 4x$ 是定义在集合 $M=\left\{x\mid 1\leqslant x\leqslant \dfrac 94\right\}$ 上的函数，对任意的 $x\in M$，存在常数 $x_0\in M$，使得 $f(x)\geqslant f(x_0)$，$\varphi(x)\geqslant \varphi(x_0)$，且 $f(x_0)=\varphi(x_0)$，则函数 $f(x)$ 在 $M$ 上的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
易知 $\varphi (x)$ 的最小值为 $\varphi (2)=4$，由题意知，$$x_0=2,f(x_0)=4.$$因为 $1<2<\dfrac 94$，所以 $f(x)$ 的对称轴在区间 $\left[1,\dfrac 94\right]$ 内，故$$\begin{cases}-\dfrac {3p}{4}=2,\\f(2)=8+6p+2q=4,\end{cases}$$解得 $p=-\dfrac 83$，$q=6$，从而$$f(x)=2x^2-8x+12,$$因此 $f(x)$ 在 $\left[1,\dfrac 94\right]$ 上的最大值为$$f_{max}=f(1)=6.$$
题目
答案
解析
备注
