若五项的数列 $\{a_n\}:a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足 $0 \leqslant a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$，且对任意的 $i,j (1 \leqslant i \leqslant j \leqslant 5)$，均有 $a_j-a_i$ 在该数列中．
① $a_1=0$；
② $a_5=4a_2$；
③ $\{a_n\}$ 为等差数列；
④ 集合 $A=\{a_i+a_j\mid 1 \leqslant i \leqslant j \leqslant 5\}$ 含 $9$ 个元素．
则上述论断正确的有 \((\qquad)\) 个．
① $a_1=0$；
② $a_5=4a_2$；
③ $\{a_n\}$ 为等差数列；
④ 集合 $A=\{a_i+a_j\mid 1 \leqslant i \leqslant j \leqslant 5\}$ 含 $9$ 个元素．
则上述论断正确的有 \((\qquad)\) 个．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
判断正确的有 ①②③④．
因为$$a _1-a_1=0 \in \{a_n\},$$所以 $a_1=0$．
因为$$0=a_1<a_3-a_2<a_4-a_2<a_5-a_2<a_5,$$且$$a_3-a_2, a_4-a_2,a_5-a_2 \in \{a_n\},$$所以$$a_3-a_2=a_2,a_4-a_2=a_3,a_5-a_2=a_4,$$于是$$ a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4,$$因此 $\{a_n\}$ 为等差数列．
不妨设 $\{a_n\}=\{0,d,2d,3d,4d\}$，则 $a_5=4a_2$；集合 $A=\{a_i+a_j|1 \leqslant i \leqslant j \leqslant 5\}$ 含 $9$ 个元素．
因为$$a _1-a_1=0 \in \{a_n\},$$所以 $a_1=0$．
因为$$0=a_1<a_3-a_2<a_4-a_2<a_5-a_2<a_5,$$且$$a_3-a_2, a_4-a_2,a_5-a_2 \in \{a_n\},$$所以$$a_3-a_2=a_2,a_4-a_2=a_3,a_5-a_2=a_4,$$于是$$ a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4,$$因此 $\{a_n\}$ 为等差数列．
不妨设 $\{a_n\}=\{0,d,2d,3d,4d\}$，则 $a_5=4a_2$；集合 $A=\{a_i+a_j|1 \leqslant i \leqslant j \leqslant 5\}$ 含 $9$ 个元素．
题目
答案
解析
备注
