已知不等式 $m^2+(\cos^2 \theta -5)m+4\sin^2\theta \geqslant 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
化简得$$(m-4)(\cos^2\theta+m-1)\geqslant 0.$$情形一 $m=4$．
此时有 $0\geqslant 0$ 对 $\theta$ 恒成立，满足条件．
情形二 $m>4$．
此时原不等式可化为$$\cos^2\theta\geqslant 1-m$$对 $\theta$ 恒成立，显然符合条件．
情形三 $m<4$．
此时原不等式可化为$$\cos^2\theta\leqslant 1-m$$对 $\theta$ 恒成立，故$$1-m\geqslant 1,$$解得 $m\leqslant 0$．
综上知，$m\geqslant 4\lor m\leqslant 0$．
此时有 $0\geqslant 0$ 对 $\theta$ 恒成立，满足条件．
此时原不等式可化为$$\cos^2\theta\geqslant 1-m$$对 $\theta$ 恒成立，显然符合条件．
此时原不等式可化为$$\cos^2\theta\leqslant 1-m$$对 $\theta$ 恒成立，故$$1-m\geqslant 1,$$解得 $m\leqslant 0$．
综上知，$m\geqslant 4\lor m\leqslant 0$．
题目
答案
解析
备注
