如图，点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上，且 $EC=2AE$，直角三角形 $FEG$ 的两直角边 $EF$，$EG$ 分别交 $BC$，$DC$ 于点 $M$，$N$．若正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$，则重叠部分四边形 $EMCN$ 的面积为 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
作 $EP\perp BC$ 于点 $P$，$EQ\perp CD$ 于点 $Q$．
易证 $\triangle EPM\cong \triangle EQN$（${\mathrm{ASA}}$），且四边形 $ EPCN $ 为正方形，
所以 $S_{\triangle EQN}=S_{\triangle EPM}$．
由题意可得 $ \dfrac {EP} {AB} =\dfrac {CE} {CA} =\dfrac 2 3 $，
所以 $ EP=\dfrac 2 3 a $．
所以 $S_{四边形EMCN}=S_{四边形EPCN}= \dfrac49a^2$．
易证 $\triangle EPM\cong \triangle EQN$（${\mathrm{ASA}}$），且四边形 $ EPCN $ 为正方形，所以 $S_{\triangle EQN}=S_{\triangle EPM}$．
由题意可得 $ \dfrac {EP} {AB} =\dfrac {CE} {CA} =\dfrac 2 3 $，
所以 $ EP=\dfrac 2 3 a $．
所以 $S_{四边形EMCN}=S_{四边形EPCN}= \dfrac49a^2$．
题目
答案
解析
备注
